之前的章节中，我们对于数据的操作最小单位为字节，每个字节由8个二进制位组成。这一节中，我们深入到字节的内部，讨论如何直接操作字节内部的二进制位。

1. 十进制转二进制

工欲善其事必先利其器。

生物学家研究细胞需要使用显微镜才能观察到细胞的结构，天文学家需要望远镜才能观察到遥远的天体。而我们研究字节中的二进制，也需要有一种手段观察到字节内的二进制组成。

短除法

对于将十进制数据转为二进制数据，我们可以使用短除法。

例如：需要将十进制42转为二进制。算法如下：

1. 被除数42，在其左下角打上符号|___，表示将对其进行短除运算。
2. 符号|___左边写上除数2。
3. 计算被除数除以除数的商和余数。42 / 2 = 21 ... 0。
4. 将商21填到符号|___下面，余数0填到右侧。

现在我们已经计算过一次短除了，下面将商作为新的被除数，重复上述步骤。

1. 被除数21，在其左下角打上符号|___，表示将对其进行短除运算。
2. 符号|___左边写上除数2。
3. 计算被除数除以除数的商和余数。21 / 2 = 10 ... 1。
4. 将商10填到符号|___下面，余数1填到右侧。

接着，继续将商作为新的被除数，重复上述步骤，直到商为0为止。

最后，若我们希望先读高位、后读低位。从下往上逆序读右侧的余数101010。这就是十进制数42所对应的二进制。

现在，我们再把这个二进制转换回十进制，验算一下是否等于42。

将二进制转换为十进制，可以把二进制中的各位乘以其所在位的位权，再将所有乘法的积累加起来，即可得到转换后的十进制结果。

例如：

二进制101010，高位在左，低位在右。

最低位的位权为2的0次方，此后的位权依次加1次方。高位具有更大的位权，低位具有较小的位权。

从最高位开始：

1. 第1位的位权为$2^5$，该位为1，积为$2^5$。
2. 第2位的位权为$2^4$，该位为0，积为$0$。
3. 第3位的位权为$2^3$，该位为1，积为$2^3$。
4. 第4位的位权为$2^2$，该位为0，积为$0$。
5. 第5位的位权为$2^1$，该位为1，积为$2^1$。
6. 第6位的位权为$2^0$，该位为0，积为$0$。

将所有的乘法的积累加起来，那么其十进制为：

2^5 + 2^3 + 2^1 = 32 + 8 + 2 = 42

2. 十进制转二进制函数

现在我们将十进制转二进制的步骤写成程序。尝试写一个函数printBinary，它能将传入的数据转换为二进制并打印出来。暂时限制二进制位最多为8位，即传入的参数为unsigned char类型。

void printBinary(unsigned char dec)
{
    unsigned int quotient;   //  商
    unsigned int remainder;  //  余数
    while(dec > 0)
    {
        //  求除2的余数
        remainder = dec % 2;
        //  求除2的商
        quotient = dec / 2;
        //  输出商
        printf("%d", remainder);
        //  商作为新的被除数
        dec = quotient;
    }
    putchar('\n');
}

变量dec为短除运算中的被除数。变量quotient用于放置除2的商。变量remainder用于放置除2的余数。计算完毕后，使用printf输出余数，并且把商作为新的被除数，再次进行短除运算，直到被除数为0为止。

将十进制数42作为参数传入函数printBinary。

printBinary(42);

运行后，结果为010101。由于代码中顺序输出余数，所以输出结果为：低位在前，高位在后。 若希望高位在前，低位在后，需要逆序输出每一次计算的余数。

对于参数dec来说，它是一个unsigned char类型的变量，长1字节，拥有8位二进制。可以使用一个有8个元素的数组char bits[8]来存储二进制位，每个元素分别保存每一位的二进制状态。现在，计算出余数之后，不直接输出，而是存储到bits数组的count下标的元素当中。之后，count加1，新的余数将被存储在下一个元素当中。

void printBinary(unsigned char dec)
{
    //  存储dec的每一位二进制状态  
    char bits[8];  
    int count = 0;
    int quotient;   //  商
    int remainder;  //  余数
    while(dec > 0)
    {
        //  求除2的余数
        remainder = dec % 2;
        //  求除2的商
        quotient = dec / 2;
        //  商作为新的被除数
        dec = quotient;
        //  将余数保存到bits
        bits[count] = remainder;
        count++;
    }
    //  逆序输出有数据的二进制位
    for (int i = count - 1; i >= 0; i--)
        printf("%d", bits[i]);
}

循环结束后，count个二进制被存储到bits数组当中。从数组的count - 1下标开始，逆序输出这些二进制位，直到下标0为止，即可得到从高位到低位的转换结果。

如果参数dec为0呢？dec为0时，无法进入循环while(dec > 0)，将没有任何输出。对于参数dec为0的情况可以做一个特殊处理。若dec为0，那么直接输出0并将函数返回。

void printBinary(unsigned char dec)
{
    //  若dec为0，输出0并返回
    if (dec == 0)
    {
        printf("0\n");
        return;
    }

    //  若dec非0，短除计算余数，逆序输出
    char bits[8];  
    int count = 0;
    int quotient;
    int remainder;
    while(dec > 0)
    {
        remainder = dec % 2;
        quotient = dec / 2;
        dec = quotient;
        bits[count] = remainder;
        count++;
    }

    for (int i = count - 1; i >= 0; i--)
        printf("%d", bits[i]);

    putchar('\n');
}

对于unsigned char类型的变量dec来说，它拥有8个二进制位。而十进制数42，只占6个二进制位，还有两个二进制位为0。若需要把8个二进制位全部输出，可以将bits数组初始化为0。计算完余数后，从数组的最后一个元素开始，逆序输出直到数组第一个元素。此时，无需对dec为0做特殊处理了。由于数组bits初始化为0，dec为0时，不进入while循环，直接输出8个0。

void printBinary(unsigned char dec)
{
    //  数组初始化为0
    char bits[8] = {0};  
    int count = 0;
    int quotient;
    int remainder;
    while(dec > 0)
    {
        remainder = dec % 2;
        quotient = dec / 2;
        dec = quotient;
        bits[count] = remainder;
        count++;
    }
    //  逆序输出所有二进制位
    for (int i = 8 - 1; i >= 0; i--)
        printf("%d", bits[i]);

    putchar('\n');
}

这样，数据二进制最高位前的两个零也被打印出来了。

测试一下，从0到16的十进制能否转为对应二进制呢？

for(int i = 0; i <= 16; i ++)
{
    printBinary(i);
}